本系列将对圆锥曲线焦点三角形定义及面积周长等计算公式作以推导。读者在熟练推导后可直接将计算公式记住，这样便可提高选填题的解题速度。
本文对椭圆焦点三角形椭圆焦点三角形进行介绍，椭圆的焦点三角形是以椭圆两焦点及椭圆上任意一点所构成的三角形，其几何度量(面积、周长等)有诸多简洁的性质。下面做详细介绍。
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有关双曲线的焦点三角形性质可参考下面这篇文章。
椭圆上任意一点与椭圆两焦点、构成的称为焦点三角形，其中，点不在直线上，，，，圆为焦点三角形的内切圆，为内切圆半径，如下图所示。
焦点三角形的周长为
证明：由椭圆定义即可证明。即
焦点三角形的面积为
证明：以半长轴为，半短轴为且的椭圆为例进行证明。设，，则的面积可表示为
而根据余弦定理有
而
因此
可得的面积为
同时，该三角形面积可以表示为
焦点三角形的内切圆半径为
证明：由(2)知
因此
焦点三角形的面积取值范围为
证明：显然，椭圆的所有焦点三角形具有公共边，将其作为底边，可知当点位于短轴端点时面积最大，且最大值为
同时其最小值不存在，因为边上的高不能为零，否则将不构成三角形，因此可得椭圆焦点三角形的取值范围为
焦点三角形的离心率为
证明：在中应用正弦定理有
于是
因此
那么椭圆离心率为
焦点三角形的取值范围为
证明：由于点位于短轴端点时面积最大，而，因此此时最大，则此时最大，且其最大值为；同样无最小值，其取值范围为；因为，故必为正数，于是有如下推导。
即有
于是
焦点三角形的 点纵坐标 与 之间的关系为
证明：由于三角形面积为
因此
已知，是椭圆的两个焦点，是上一点。若，且，则的离心率为( )。
解：如下图，其中，。
因此，。则根据性质(5)知椭圆离心率为
即本题选。
已知，为椭圆的两个焦点，和为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为( )。
解：如下图，其中，。
由于，因此四边形两对角线相等且互相平分，即四边形为矩形，因此。于是四边形的面积为
即四边形的面积为。
本文的重点在于这些性质的推导过程，且只对部分性质的相关例题进行了解答。综合上面有关椭圆焦点三角形的常用结论的推导及例题发现，椭圆的焦点三角形具有很多简洁的性质，读者可在熟练推导过后将其记住，这样在解决选填题时便可节省大量时间；同时对推导过程的熟练运用也将在解答题中提供必要的思路。
