“矢量重对数双面计算尺”怎么用?

“矢量重对数双面计算尺”怎么用?

如果你没有计算尺,可以先去Derek's Virtual Slide Rule Gallery这个网站试试JavaScript编写的模拟算尺,下述的计算不一定都保证有,但是基本原理可以自己亲自滑一下试试。并且因为有的计算是可以相互转换的,简版的尺子也可以通过一定的计算得到尺上原本不能体现的数值。

我手头有一把飛鱼1003的计算尺,比较闲的时候就拿它作运算。

计算尺可以作的运算一般有:取倒数、取常用对数、乘法、三角函数、平方立方,及其逆运算(10的幂,除法、反三角函数、平方根和三次方根)。短些的袖珍版(我有一把五•七型计算尺,尺长只有14cm)也可以完成上述运算,只是精度很低了。

这款算尺它只有一面,另一面是厘米刻度尺和一些计算公式(圆面积、三角面积、圆柱体积什么的,还有正余弦定理),刻度比较窄,计算的话一般只有两位有效数字

还是说说1003型,它有两面,都密密麻麻的标有好多刻度和数,左侧是函数名,右侧是刻度范围。为了区别两面,把有三角函数的那一面叫S面,上下都是ln的那个叫Q面(随便起的)

计算时,大致都是用游标去标数,用游标在某函数上Input一个值,此时这条游标线对应到C尺或D尺上的数就是你要求出的函数值(比如2的平方,就找到平方函数sq,用游标对到sq尺上的2,那D尺显示的4就是其计算结果)。反过来用C和D去标对应左侧所示的函数就可用于求其反函数(比如D尺上的5对到平方尺显示sq(2.237)=5,那就是5的算术平方根就约2.237)。

下面来详细的举例说明各计算法

取倒数:红色的带I字样的并自左上向右下倾斜的刻度,与无I的尺的值相乘等于10。如Q面的C上方的CI,以及CF下方的CIF,用游标对到C尺上,CI尺上显示的就是C尺的值的倒数的10倍

例:1/4,用游标在C尺上找到4,对应到CI尺上(注意,CI与CIF都是从右向左增加的,与其它尺不同)结果是2.5,所以1/4=0.25

乘法:这是最基本的用法了。找到C尺和D尺(两面都有,CF尺与DF尺也可,只是CF尺是从sqrt(10)开始的,原理一样,只是为了个别时候减少滑动距离而设)如计算x乘y,先将两数用科学计数法表示,只对科学计数法里那个“a”进行运算。

将滑尺C的1与D尺的因数对齐,再用游标标到C尺的另一因数,那么此时C尺这个数所对的D尺上的值,就是两数相乘的结果。如果两因数相乘大于10,那么应该用滑尺C的10与D尺因数对齐,这时结果应为D尺所示结果再乘10。

例如:2500*318000=2.5*10^3*3.18*10^5=2.5*3.18*10^8

开始滑动:把C尺的1与D尺的2.5对齐;把游标移向C尺的3.18的位置;此时对到D尺上的值是约7.95(略微的不到7.95,本来后几位的值就是要估计)所以,2500*318000结果就是7.95*10^8

//不要指望它能算出2426*2387191的准确值,它只能做一个估算(输入的值是可以小数点精确2位,第3位估计),大约是2.426*2.387*10^9,计算尺上的结果差不多在5.80的位置,(实际值为5.7913*10^9)

再例:3.1*6.6,一看就知道二者相乘超过了10,那么就要用C尺的10去对了

开始动:C尺的10和6.6对齐,游标找到C尺的3.1,对到D尺上是2.04,因为是C尺用10去标的,所以,算尺报告的结果是20.4(实际结果是20.46)

除法:这个计算起来比较直观,与乘法类似,先表示成科学计数法, 两数的a的部分作除法,

具体操作为:游标划到D尺上把分母y标出来,滑动滑尺C,让分子x的示数也在游标处(表示成比较像分式的形式),此时,读D尺1(或10)对应的C尺的值,就是分式的值q(其实就是x/y=q/1或x/y=q/10)(反过来用C的1或10去对D上的数就是分式的倒数了)。当然,此时C与D尺上任何的一对的比都是这个比值。

例:计算3/5。滑动:游标滑到D尺的5上,让C尺的3和游标刻线对齐。此时从D尺右端可知,此结果是6/10=0.6

加减法:如果有线性刻度可以直接做加减法,可以用两个刻度一样的相对的直尺完成。但是一般算尺没有线性刻度,当然,我们也可以完成加减运算,因为算尺的乘除比笔算快,用以估计和差,还是可以接受的。计算法:x+y=x(1+y/x),用算尺算出y/x,然后对其手动+1(减法则手动-1)之后再乘x,具体乘除法操作办法之前已叙述。

如,9.4+12.3

=9.4(1+12.3/9.4),算出10*1.23/9.4(这时便用CF与DF尺就方便了,此时游标应先滑到定尺DF(也就是分子)上)为1.31,那么再做9.4*(1,31+1)=9.4*2.31=21.7,和实际值一样(长算尺的间隔大,刻度密,估计值就准一些。此处我亲手用算尺算的,刻线恰在2.16与2.18中间)

三角函数:算尺上都是用的角度制。用三角函数首先找到有三角函数的S面。在滑尺上左侧是三角函数名,右侧是范围。三角函数的计算不用滑动滑尺,只用游标就可(但不必需)。要计算某个度数的三角函数,只需要在对应在三角函数尺上找到角度,并与C尺的值对应,C尺上的值的数量级应由选择的三角函数刻度右边标示的范围确定。

tan函数在(0,90)内的值域相当大,所以用了三段,注意右侧标示范围。此范围表示左端1到右端10代表实际值的范围。如tg2的一行,是10->100,说明左端1表示实际值为10,右端10表示实际值为100。

当角度适当小时sin(x)与tan(x)比较接近,就把小角度的正弦和正切放在同一列了,笔者认为,这引起的误差并不比因用算尺读数引起的误差大。

//为了防止偏差,可以把C尺移的和D差距大一些,或者C与D尺刻度完全对齐,这样可以避免一些因读数可能带来的偏差甚至错误。

例:角的单位均化成角度制

sin(30),在sin尺上找到30,对应D尺为5,sin函数的标示范围是.1->1,这说明C尺的左端1代表0.1,右端10代表1,那么C尺的5实际值应为0.5。

tan(37),在三行tg尺上找37,位于tg0上,C尺结果范围是.1->1。滑动游标读出C尺上7.54,所以结果应为tan(37)=0.754

tan(88.5),在tg2尺上发现有88.5,对到C尺上是3.82,结合tg2的范围是10->100可知tan(88.5)=38.2

常用对数与10的幂运算:S面就在三角函数那一列上边就是lg函数,lg尺与是C尺数值的常用对数。要计算常用对数时,应把数值化在[1,10),就是lg(a*10^n)=n+lg(a),其中n为整数,a为[1,10)的数。用游标在C尺上游走,就可知其常用对数。反过来,在lg尺上的数对到C上就是其10的幂。这时,要把a化成[0,1)的数,也就是10^(a+n)=10^a*10^n,其中n是整数,a为[0,1)的数,这样结果就又表示成科学计数法了。

例:lg(42.1)

lg(4.21*10)=1+lg(4.21),游标在C尺上定位在4.21,对应在lg尺上是0.624,

这样,lg(42.1)=1+0.624=1.624

例:已知氢氟酸在298K时,pKa=3.37,计算298K时氢氟酸的Ka值由化学常识,pKa就是Ka的负对数,这个题也就是计算10^(-3.37)10^(-3.37)=10^(-4+0.63)=10^0.63*10^(-4),在lg尺上找到0.63,对应C尺为4.27,所以Ka=4.27*10^(-4)

自然对数与任意指数运算:Q面的ln函数占了非常多的地方,相比于lg函数只有0-1来说,ln函数的范围很大,减少了运算次数,不仅仅减轻了工作量,更增加了估算的准度。

Q面的ln函数直接进行ln(x)和exp(x)的运算从略。它主要可用以进行任意的指数运算,依据的等式为a^b=exp(b*ln(a))。虽然也可以用10^(b*lg(a)),但刚才提到lg函数准度和范围都不够,用lg函数需要一定辅助手段,不如ln可以直接计算。

例:2.5^5.1=exp(5.1*ln(2.5))。先在ln0上找到2.5,用游标对到D尺上得出ln2.5=0.915;计算0.915*5.1=4.67;计算exp(4.67)时把游标置于D尺4.67处,对应在ln1尺上的值约是107,此即2.5^5.1的估计结果(实际结果是107.0272...)

平方、立方、算术平方根、三次方根:这四种运算固然可以当成指数运算在用ln尺运算,但前述运算过程需要操作多次。在算尺上,这种计算是一次就可以得到结果的。所用的函数是sq(square ,平方)与cu(cube,立方)。

袖珍型的尺上,D尺的1->10对应了A尺的1->100与K尺的1->1000,A尺和K尺分别表示D尺的平方和立方,相比于1003型算尺sq和cu两行三行的这种,二者精度真是相差太大了。1003型的1-10的sq两行是1-sqrt(10)与sqrt(10)-10;cu类似的,分了三行1-curt(10),curt(10)-curt(100),curt(100)-10。这样刻度更密集,准度更高。

平方与立方运算时,被运算数要先化为科学计算法,用算尺只可计算[1,10)的部分。

计算算术平方根时,要把被开方数处理在[1,100)范围内,否则应化为a*10^(2n)的形式,使sqrt(a*10^(2n))=sqrt(a)*10^n(同样计算立方根时应把数据化到[1,1000)范围内)

下述内容,sq表示平方(根)的,对应到cu上表示立方(根),不再重复叙述。

D尺上的值对应到sq尺上是算术平方根,同样sq尺上的值的平方就是D尺对应值。

例如:计算4.5^3,就在cu上找到4.5,在对应10->100的cu一行上有4.5,对应D尺的值为9.1,所以实际结果为91

计算cube_rt(53732)=cube_rt(53.732*1000)=10*cube_rt(53.732),在D尺上找到5.373,然后应该对应到cu尺在10->100的刻度上才是53.73,这个cu尺上的值为3.77,所以cube_rt(53732)结果是37.7

勾股定理:Q面的滑尺上,还有H0,H1和H'0这三个函数,其中H'0是红色的自左向右斜的。这三个函数的表达式在右侧都有,是sqrt(1+x^2)及其变体,可用以在直角三角形中已知两边长计算未知边长。

例:计算直角边长为3,4的直角三角形的斜边

也就是sqrt(3^2+4^2)。提取出因子3,得3*sqrt(1+(4/3)^2)=3*sqrt(1+(1.333)^2),在C尺上找到1.333的值,对应在H1尺上,得1.66,那么3*sqrt(1+(4/3)^2)=3*1.66=5

当然,提取公因子4,就是4*sqrt(1+(3/4)^2)=4*sqrt(1+(0.75)^2),这时应找7.5并对到H0尺上,得1.25

于是4*sqrt(1+(3/4)^2)=4*1.25=5

再例,直角三角形中斜边是13,一直角边是5,求另一直角边长,也就是sqrt(13^2-5^2),此时只能提公因子13(因为提出5的话,算尺里没有那个表达式),得到13*sqrt(1-(5/13)^2),可作除法计算5/13=0.384,这样,在C尺上拨至3.84,对应H'0尺上的值是0.923,故13*0.923=12

双曲函数:还剩下S面上有sh0,sh1,th0,ch1这几列,如其函数名所示,此三者双曲函数。用法与平方、立方刻度类似,不再赘述。