希望我的思路能够对题主有所启发吧。
（本文改编+节选自我的专栏文章中相关的部分。）
泰勒(Taylor)公式，被某本数分书称作一元函数微分学的顶峰，我深以为然。Taylor将光滑函数在参考点用任意阶多项式近似的方案，往小了说可以解决数分/高数中各种求极限作业题，往大了说即便是最前沿的论文，这一函数近似也是家常便饭般在不同场合按需使用着，可以说是行走江湖必备神器。
然而，对于一般数学书上Taylor公式的内容，我发现了两点缺憾。第一点是Taylor公式的积分余项形式被提及的次数莫名的少，我在图书馆的几本工科数学分析书中都没有看到相关内容。然而它是比Lagrange余项和Peano余项更精准的余项估计，十分有用。
第二点发现是，这些教科书证明Lagrange余项的方法非常的优雅：先将 写成适当的形式，再连续使用 次Cauchy中值定理得到结果。虽然也很简单易懂，但问题是真的不好想到，属于那种一看过程就懂，但事后完全想不起来的类型。
因此，针对这两点缺憾，我决心要用最直观的方法去构造证明，要用最简单粗暴的思路证明最完善的结论。希望我的思路能够对读者们有所启发，理解和记忆地更深一点吧~
下面进入正文：
一元函数的Taylor公式大家都很熟悉：
其中余项 有三种形式，分别为积分余项
Lagrange余项
和Peano余项
这三种余项由上到下估计精度递减。其中一个小小的细节是Peano余项中没有出现 , 也就不要求 阶可导。因为与其他两种余项公式的前提条件不同，因此我们证明的时候Peano余项就需要单独处理。（当然也很简单）
首先，比起证明，更重要的是理解Taylor公式本身。它是干什么的？答案言简意赅：它是在某一个点周围，用 次多项式近似一个光滑函数。如果我们把Taylor公式的多项式部分紧凑地合并，记作 , 那么Taylor公式就是简单的两部分：
其中 次多项式 用来近似原函数 ， 是近似后“剩下的”误差部分，所以叫余项。我们希望 越接近0越好，这说明我们近似地越精准。
那么在一个点周围，怎么样近似一个函数呢？这个答案也是显而易见的，就是该点的各阶导数值相等——0阶导数就是函数值，0阶导数相等意味着在这一点值一样；1阶导数是0阶导数的变化率，1阶导数相等意味着这一点函数值的变化快慢相等；2阶导数是1阶导数的变化率，2阶导数相等意味着函数1阶导数值的变化快慢相等，也就是这一点函数值变化快慢的变化快慢相等，以此类推……
这些导数值携带着函数的信息，越低阶的导数携带的信息越直接、重要，因此我们的近似思路就是从低到高尽可能让它们相等，至于具体相等到几阶，则根据实际需要的精度决定。这样 需要满足的条件就呼之欲出了，不多，就两点：
多项式求导大家应该都会吧~ 容易验证公式(1)就是我们需要的 , 各项系数就是 除去因多项式求导而产生的多余常数倍，可以说是很简单粗暴的构造了，完全符合我们的理念！记住了这个，Taylor公式的主体就搞定了——毕竟我们的目的是近似！余项只是完事儿之后附加的结果评估而已~
但作为新时代的学生，我们想必是有追求的。不仅要近似，还要明白我们的近似是否是精准的、合理的，因此要对余项进行分析。那么对 我们知道什么呢？我们只知道：
因此从我们对 的两个条件，就可以对应于 的两个条件：
公式(7.2)告诉我们，从 阶导数起， 次多项式 的影响就已经完全消失了，即
那么自然地，只要反向一路积分回去，我们就可以得到
其中多项式 的选取调节(8)式的 ~ 阶导数值，如果选取 , 就得到了 ，如果选取 ，就得到了满足条件(7.1)和(7.2)的余项 .
因此我们自然地得到了“简单粗暴型”余项公式
某种程度上其实我们已经完成了任务，写出了余项的精准表达式。只不过公式(9)显然不便于使用，所以我们还需要将(9)式化为常见的(2)和(3)式。
化简的方法有2种，一种常见的使用分部积分的方法我觉得思路不够直接，在这里我继续贯彻本文简单粗暴的理念，给出另一种证法：不就是累次积分吗，我一层一层直接算下去不就好了！从里向外看，注意到被积函数 只和 有关，容易想到如果将最内侧的两个积分换序，就可以消掉一个积分号。
具体而言，
这时候
被积函数中表达式不明的部分 仍然只和 有关，我们可以继续进行这样的操作。事实上，
重复以上计算 次，即得
即积分余项公式(2).
由积分余项公式(2)可以直接推出Lagrange余项公式(3)：
其中第二行使用了积分中值定理。
由Lagrange余项公式(3)可以直接得出比Peano余项(4)更强的结论 , 不过Peano余项在 不 阶可导时也成立，所以我们不能借助所有出现过 的已有结论，而是直接从定义出发证明。
由无穷小的定义，(4)式即
由(7.1)知，上式左侧为 型的极限，故用洛必达法则有
由(7.1)知，上式仍为 型的极限。故我们反复使用洛必达法则， 次后最终得到
综上，一元函数的Taylor公式部分我们就说完了。回顾一下整体的思路：
