Black-Scholes 模型说白了不就是一个在虚数时间中演化的量子系统，这有什么难理解的？
Schrödinger 方程描述了「现在的粒子如何去往未来」，BS 方程描述的则是「未来的价值如何折现到当下」。
Black-Scholes 方程描述了期权价格 随标的资产价格 和时间 的变化：
这个方程看起来很丑，充满了 和 这样的变系数，让数学人很难受。
你数学物理直觉很好的话就会发现这里有一个隐藏的对称性。
股价从 100 跌到 50 和从 10 跌到 5，对投资者来说痛苦是一样的，这其实就是标度不变性。
所以你不应该考虑资产价格 ，而是应该考虑对数收益率 。
同时逆转时间箭头，因为期权是有 Deadline 的，它的价值其实是通过未来的 Payoff 倒推回来的。
所以不妨定义剩余时间 。
然后做变换：
用链式法则求导换元，并整理各项系数即得：
这就是在对数价格空间 和剩余时间 下的 BS 方程，它是一个带漂移项和耗散项的扩散方程。
为了得到最纯粹的热方程，还需要消除一阶导数项和零阶项。
这是一个很常规的规范变换，凑下系数令：
大致相当于变换到了一个共动参考系并提取出折现因子 。
这样就得到了最完美的 Black-Scholes-JZ 方程：
再看下 Schrödinger 方程：
简直一模一样好不好？
价格概率分布是个波函数！
好怪哦，再看一眼：
这是啥，物理意义是啥？
是量子的本性，代表微观世界的内禀随机性。
而波动率的存在本身就是市场具有内禀随机性的证明，因此直接令 。
所以 又是啥意思？
是粒子的质量，代表改变运动状态的难易程度。
而一个低波动率标的（大盘）就相当于一个重粒子，它的价格概率分布扩散得很慢，得有巨大得消息面冲击才能改变它的分布。
反过来一个高波动率的标的（山寨币）就相当于一个轻粒子，一有风吹草动就归零了。
为啥 Schrödinger 方程里有个虚数单位 ，期权价格模型却不需要？
因为在风险中性测度下，价值本身就是概率加权的期望值。
物理上是对波函数取模平方得概率，金融上是直接对概率密度函数进行卷积。
两者控制演化的传播子是完全一样的。
上面第二步强行消除了无风险利率 ，但这个东西也是有物理意义的，回到这个形式：
漂移项 对应一个恒定的外力场，导致粒子有一个整体的平均速度。
衰减项 对应标量势能 的基态能量，它不改变粒子的分布形态，只改变波函数的整体振幅，说明货币的时间价值导致总价值随时间衰减。
所以综合来看，折现就是路径积分，让价值从未来塌缩到了现在。
Feynman 告诉我们，粒子从 A 到 B 同时走了所有可能的路，波函数是所有路径权重的叠加：
这里的 是作用量，由于 的存在，路径之间会发生干涉。
在金融学虚时间中，Wick 变换把 变成了欧几里得作用量 。
因此期权的现在价值 是所有可能的价格路径的加权平均：
你站在现在 ，看着未来 ，未来有无数种可能。
但每一个平行宇宙的结局都会通过一个概率系数折现回现在，且这个传输过程遵循最小作用量原理，越离奇的走势权重越低。
综上所述，宽客（Quant）其实就是简易量子物理学家（Quantum Physicist）。
Black-Scholes 应该去领诺贝尔物理学奖。
