一、直角坐标系
我们假设
于是，有
于是，有
二、极坐标系
我们假设
其中， ，
求导，
所以，
其中， 为径向速度， 为横向速度，而 就是我们所常说的角速度
接着，对速度求导，得到加速度
整理，得
其中 ，称为径向加速度， ，称为横向加速度，有时写作
三、自然坐标系
我们假设
又因为 ， ， 为曲率半径的定义式，所以 ， 为质点轨迹的曲率半径
于是，我们得到
其中 称为切向加速度， 称为法向加速度
值得注意的是，当质点切向加速度为零且法向加速度为定值时，
我们可以得到 ，也就是说质点的轨迹一定为圆，其向心加速度的大小为
四、柱坐标系
我们假设 ，下面将 简记为 , 记做
与极坐标形式下的证明几乎一致，读者不妨自证。
五、球坐标系
在球坐标下，我们知道 ， ，
其中 ， ，
我们知道
所以
我们知道 ， ，
所以，
所以，
所以，
另外，对于多元函数 ，我们知道
接着，我们求得
， ，
最后一项也可写为
