引力弹弓，本质上就是在大天体引力场中运动的小天体，通过引力相互作用，和大天体之间发生机械能转移的过程。
题主问的是定量的方法……所以以下回答会没那么生动。如果不想花太多时间，不妨只看看动图，也能有个直观的印象；也可以移步另一个回答：“引力弹弓”是怎么回事？
1、首先，我们还是得通俗地、定性地看一下（这是定量讨论必经的一步，有助于我们更好的建立和检视定量模型），探测器经过大天体（行星）轨道的时候，会发生什么情况。
一颗探测器以速度Vin与速度为Vplant的行星交会，t=0时刻二者速度的夹角为θ，交点为O。
当探测器从行星后方（较远距离）经过，此时行星在O'位置，探测器位于O。探测器受到的万有引力分量Fp与速度V0同方向，所以探测器会被加速，同时速度在垂直方向分量Fv的作用下向顺时针方向偏转。当然，行星也会受到探测器的引力作用而减速，但是行星的质量远远大于探测器，所以行星速度的变化非常非常微小。
相反，如果探测器从行星前方掠过，则探测器的速度会逆时针方向变化，同时被减速。同样地，行星也会受到探测器的引力作用而加速。
事实上，行星对探测器的引力是持续变化的。以上的分析仅适用于探测器从距离行星较远处经过，轨迹变化很小的情形。
2、为了最大程度地利用引力弹弓，我们在实际计算中，更关心探测器近距离掠过行星的情况。此时，行星引力的方向和大小变化都会更复杂，我们不得不做一些定量的计算了：
由以上计算结果，我们可以得到以下规律：
规律1、近距离掠过行星的，轨迹改变更显著；
规律2、沿行星运动方向脱离的探测器速度最大，与行星运行速度相反脱离的速度最小
第一个结论很容易理解，第二个结论似乎比较有意思。
我们来把计算得到的速度矢量Vout画在一个图里。
规律3、出射速度和入射速度都分布在一个以行星运行速度矢尖为圆心的圆上。
让我们用参照系变换的方法分析一下：
在行星坐标系下，行星固定位于原点，探测器从远处以Vin’接近，受到行星引力的作用而偏转，沿双曲线轨道远离，距离行星足够远时速度为Vout’。
初速度Vin’与末速度Vout’方向不同，大小相等，这很容易理解。
把参照系变换以图形的方式表示，Vin’为Vin和Vplant的矢量差，Vout为Vout’和Vplant的矢量和，
其中，角度φ决定于探测器和行星的最近距离，探测器掠过行星的距离越近，偏转的角度越大。
因此，Vout分布在以Vplant矢尖为圆心，Vin与Vplant速度矢量差为半径的圆上。这与我们求解万有引力方程得到的规律3相同。
结论：行星质量、的公转线速度Vplant、探测器入轨前的速度Vin都是很容易确定的，而偏转角度φ取决于掠入行星轨道的时机，可以通过双曲线方程进行计算。这四个变量决定了探测器远离行星后的速度Vout。
3、定性描述和定量计算都谈过了，接下来我们把这个模型放倒太阳系背景下，看看恒星和行星引力共同作用下的模型。
求解恒星和行星引力共同作用下探测器的轨迹，可以看到，从行星附近掠过后，探测器从原来的椭圆形轨道1跳转到开放的抛物线轨道2上。这个轨道转移过程相对于整个轨迹而言非常短暂，所以我们可以粗略地认为，探测器在掠过行星的瞬间从行星获得了一个冲量，轨道发生了变化。
对于太阳系内的小天体而言，这种引力弹弓作用有相当大的几率把小天体加速到太阳系的逃逸速度。事实上，太阳系中各大行星轨道上的小天体绝大部分是这样被“清理”掉的，因碰撞而被俘获的是极少数。
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