我当年上大一的时候对这个方法很感兴趣，而且我们当年的《高等数学》第三册里面就有一章专门讲这个方法的。举两个简单的例子。
I. 计算积分
这个积分叫做狄利克雷积分，最早是欧拉算出来的。这个积分有好多种方法可以算，这里就说一个用含参变量积分的技巧算出的。定义一个函数：
可以证明（用外尔斯特拉斯判别法就可以证明），这个积分一致收敛，所以可以对这个函数求微分，而且微分与积分可以交换次序，于是就有：
求积分，得到：
因为
,
所以
II. 计算高斯函数的傅里叶变换
这个积分同样可以用很多种方法求，例如可以用复变函数的留数定理计算，可以参考胡嗣柱倪光炯的《数学物理方法》第二版。这里仍然用含参变量的积分的方法计算。
积分可以重新写成这种形式：
定义函数：
这个积分同样可以证明是一致收敛的，所以可以直接求微分，并且交换微分和积分的次序，得到：
解微分方程，得到
根据边值条件，
所以得到
最终得到高斯函数的傅里叶变换，或者是高斯分布的特征函数，为
这个两个例子都是从我当年的《高等数学》第三册的内容回忆来的。我很庆幸当年我们用了这个版本的高数，而不是那个简单得多的同济版的。我们那个版本的高数编者是文丽，吴良大，尽管不是非常著名的教授，但是这个教材内容确实非常好，讲了很多数学分析里面才有的内容，例如一致收敛，瑕积分，反常积分，Abel判别法，狄利克雷判别法。而这些内容其实很多数学分析的教材里面都没有。
关于积分号里面求微分的内容，除了上面提到的那个版本的高等数学之外，复旦陈纪修的《数学分析》两卷本，中科大龚昇，常庚哲的《数学分析》两卷本，南开陈省身数学所的《数学分析》三卷本也都有。如果有兴趣，可以在这些书里面找到更多的例子和更严谨的证明。我曾跟一同学说过，国内的数学分析教材我最喜欢这三套，就是因为这三套教材跟我当时用的《高等数学》内容很像。
这类积分技巧在数学和物理学中都有着广泛的应用。概率论里面有一个很重要的函数叫做矩母函数，moment generating function，其本质就是一个参变积分，通过对矩母函数求微分，我们可以得到分布函数的各阶矩。在物理学里面，特别是在量子场论和量子多体理论里面，可以通过在计算配分函数的时候引入一个source term得到generating functional. 通过对generating functional 求一次泛函微分，我们可以得到单粒子格林函数；求两次泛函微分，得到two-particle Green function, or susceptibility.
在工程领域里面，结构力学和材料力学中有一个常用的定理叫做卡氏定理，其做法与物理中引入source term然后计算generating functional 的做法非常类似，本质上也是在计算参变积分。
参考
Moment-generating function
Source field - Wikipedia
Partition function (quantum field theory)
Castigliano's method
