一般来讲，上古时期的“可以”，不能算一个凝固的词，而是“可”和“以”两个词。所以也就无所谓古今异义了。
关于古今异义，我个人觉得，应该是在“同一个形式的词”之基础上进行讨论，就是这一对比较对象要具有相同的书写形式，并且都是词（或词组）而并非有个是词另一个是词组。
关于词组和词的区别，不少书都有讲过，简言之，词组是词组成的、比词高一级的句法单位，而词是最小的、能力运用的造句单位。
按照这个标准，真正能算古今异义的，应该如：
臭，古泛指一切气味，现在多指难闻的气味。
脚，古指人膝盖以下的部分，现指的脚踝以下的部分。
兵，古指武器，现在指士兵。
至于把古时的词组和现在的词相比，显得牵强。比如，《左传·成二公二年》：“余姑翦灭此而朝食。”这个“翦灭”严格来说，和现在的“翦灭”不能算“古今异义”，因为前者是两个单音词构成的词组（翦和灭都是消灭之义，这是文言文里一种特殊的语法现象叫同义连文），现在翦灭一般偏指“消灭尽”。
我翻了一下比较专业的古汉语教材，在比较古今异义的时候，都是以这样的标准和形式解释的。但也有一些书上的标准很模糊，比如说“卑鄙”，古义是身份低贱，见识短浅，今义品德差。至少诸葛亮《出师表》里的“卑鄙”，要算两个词“卑”和“鄙”。我个人觉得这不能算古今异义。
回头来看“可”和“可以”。
已经说了，在古代，“可”是一个词，“可以”是“可”和“以”构成的两个词。它们在古时有明显的分野，按王力先生《汉语语法史》的说法：
1.“可”后面的动词是被动意义的，“可以”后面的动词是主动意义的。
2.“可”后面的动词不可带宾语，“可以”后面的动词不能带宾语。
这两个词到后来的区别混乱了，“可以”能用来表示“可”的意义。我没有仔细翻资料，粗略看了一下，明清小说里已经有“可以”凝固成一个表示能愿（即情态）的情况：
“惟未、申、酉三时，可以往来。”（《三国演义·武乡侯四番用计，南蛮王五次遭擒》）
由此我想可能在唐宋时期的白话作品里已经有“可以”用作现在“可以”的情况了。
你老师举的例子：“春天到了，种子可以发芽了。”这个“可以”应该毫无疑问是一个情态动词。如果当作“可以凭借”讲，很明显“凭借”这个介词后缺宾语，现代汉语里很少有省略的现象，即使补出一个宾语“之”，那么“之”又指代哪个词，春天？种子？人们？恐怕都不好讲吧。
现代汉语里有很多词都是古汉语里的词组凝固、语法化来的，再举个例子比如“于是”，这个词最早用在“子于是日哭，则不歌”这样的句子中，大致是“在这”的意思，现代汉语里的“于是”一般都作连词表一种承接关系。
至于你说的“不够严谨”现象，“小学而大疑”说的是“学了小的，丢了大的”，这里的“小学”要算词组。不过古代确实有一个双音词“小学”，指中国传统语文学，即文字、音韵、训诂之学，这可以现代的“小学”算得上古今异义。至于“以为”，最早也该是“以之为”的省略，后来凝固成一个词。
其实中学阶段的语文教学有很多时候都为了方便、简单而压缩了知识内容。比如教古诗不讲音韵，音韵太难了，这导致很多人困惑韵脚不和谐。再比如小学教汉语拼音，把zi、ci、si等看作“整体认读音节”，其实zi、ci、si也可以切分出声韵。再比如，“于”和“於”在上古本就是两个介词，但是现在却要把它们当繁简字来教，等等。
“古今异义”其实本身也是一个不严谨、图方便的教法，讲古今异义，会考虑很多很多因素，比如词义的发展方式，同形词问题，甚至还要大致知道哪种意义产生于何时，消亡于何时。至于“古今异义”的标准，如开头说的，可能也是一个不很严谨的。
不严谨、图方便也只是为了教学，只要理解两个东西在古今不是一回事儿，那么“古今异义”这个概念的内涵也不是很重要了。
