我说两个和集合论有关的例子。
1.如果一个基数κ不能拆分成<κ个<κ的基数之和，称κ为正则基数。可以看出来，0,1,2,ω,ℵ₁,ℵ₂,......都是正则基数。于是第5小的正则基数恰好是第一个不可数基数。
2.设集合论宇宙直到第κ层为V_κ，满足|V_κ|=κ的基数为(从小到大)0,1,2,ω,ℶ(1,0),ℶ(1,1),ℶ(1,2),......。于是第5小的满足|V_κ|=κ的基数就是第一个贝斯不动点。如果承认GCH，这也是第一个阿列夫不动点即ℵ(1,0)。
由此可见，某种有很强的封闭性质的基数的第5个例子，很可能就是一个超越了朴素意义上的无穷大的数字。这也很好理解，因为一般来说"无,有,多个,无穷个"恰好是某种封闭性质的前4个比较平凡的例子。
