我是这样自学的：
一、学习黎曼几何，大致说来需要三个阶段：
第1阶段，基础课程： 《微积分》 《线性代数》
微积分和线性代数，是学习黎曼几何的必由之路。黎曼几何是用微积分作为工具在数学空间里研究几何的理论，所以没有这两项基础，基本上就只能和黎曼几何拜拜了。
雅可比(Jacobi) 矩阵，就是偏导数组成的：（偏导数关联微积分、矩阵关联线性代数）。
这两门课程，在国内算是比较成熟的，大多数理工科专业的学生可能都学过。而且这两门教材也比较好找，基本上正常的大学教材都能用。
第2阶段，前置课程： 《微分几何》 《点集拓扑》
这两门课，是学习黎曼几何的预热课程，先学这两门课程再学黎曼几何会轻松不少；没有这两门课程也是可以学习黎曼几何，但是困难就会很多，而且在学习的过程中，可能还需要回补这两门课程里的部分内容。
从这一阶段开始，国内的好用教材就比较缺乏了。我所找到的个人认为还比较好懂的国内教材是：
《微分几何》 （周建伟 编著 2008年版）、蓝皮封面。
这本书写得比较直观，公式多用显式表达，比较容易学懂，是本不错的初学微分几何的教材。
另外也找到两本不错的国外翻译过来的教材，可作为辅助教材来用。这两本书，叙述详细、概念明确、图示实用，读起来也比较顺手。
《曲线与曲面的微分几何》 （Manfredo P.do Carmo 著 田畴 等译 2005年版）。
《拓扑学基础及应用》 （Colin Adams Robert Franzosa 著 沈以淡 译2010年版）。
第3阶段，黎曼课程： 《微分流形》 《黎曼几何》
这一阶段的教材，国内的适合初学者的很少。几经周折，最后找到一本国人写的还算比较容易读懂的黎曼几何教材：
《现代微分几何》 （孙和军 赵培标 编著 2015年版）。
这本书名字上虽然没有黎曼二字，但实际上却讲是讲黎曼几何的。这本书给我印象最深的是，书中在讲流形时用鱼身来比喻二维流形、用单个鱼鳞来比喻邻域、用全身鱼鳞来比喻开覆盖，非常形象生成动，易于理解。关于曲面的第一基本形、第二基本形，也讲得比较直观。关于黎曼几何的流形、联络、平行移动、测地线、曲率，也算比较易懂。更难能可贵的是，书中还穿插介绍了几何的历史和人物，值得称赞！这本书包括了黎曼几何的基础内容，并不作深入的展开，比较适合初学者。
另外也找到一本国外翻译过来的黎曼几何教材：
《微分几何与拓扑学简明教程》（A.C.米先柯 A.T.福明柯 著 张爱和 译 2005年版2016年印）。
这本书写得确实比较简明，232页却包含了上面2、3阶段的内容：10%微分几何、10%拓扑学、40%微分流形、40%黎曼几何。而且书中还有超多的几何图形，实在让人惊喜。这本书的表达方式也是多用泛函和偏微分方程，是一本很不错的黎曼几何辅助教材，很值得一读。
