题主这问题问的，到底是问聚点还是上下极限啊……
单说一下上下极限吧，有很多种定义方法，比如定义，还有用和定义，这两个定义不太直观，但是容易处理.另一个比较直观的定义方法是用最大最小的子序列极限来定义.
对数列，记是的子列极限全体，定义，.
可以证明这两个数都在中，证明留作习题.（可以参考baby Rudin p56.）
类似的，函数在某点的上下极限也可以定义，也会有不同的定义方法.
之所以定义上极限和下极限，是因为要研究那些形态没有那么好的数列或者函数，因为对于数列或者函数，极限往往不存在，但是上下极限总是存在的.比如说，有些情况下我们要的结果来自某个数列，但不一定要求这个数列是收敛的，只要上极限就可以了，例如幂级数的收敛半径，这个一言难尽，等学到了题主也许就看到了.
另举一例，虽然还没学到导数，但是这个高中应该都有所了解吧.函数在某点处的导数定义为.如果只是现在见到的大多数的函数，导数基本上都是存在的，但是如果眼界放宽一点，看更多的实函数，那么导数这个概念就太强了，但是研究一般函数的导数还是有意义的，因此我们可以这样定义一般函数的“导数”.
考虑函数在某点附近，从左边趋近于，上面那个极限不一定存在，但是上下极限总归存在的，因此我们可以定义左上导数，左下导数，分别指上面的式子的上极限和下极限.类似的，也有右上导数和右下导数.这四个数一定都是存在的（可能等于无穷）.
如果这四个导数都相等且有限，那么称在点可导.
这样看起来好像问题变复杂了，但是最后的结果非常漂亮：
单调函数（及其线性组合）几乎处处可导.
几乎处处这个词大概题主要很久以后才会见到以及理解吧……先不要在意.这个定理说明，对于相当多的函数，谈论导数还是有意义的，个人感觉这也是个蛮漂亮的结论的.
以上.
