底(堃)和高(翡)是几何的“魂魄”，很多几何定理都是利用它们推出的了，拓扑学中的具有开天辟地之称的等面积变换原理(ΔS=0)是哲学意义强大的原理，它是沟通世界的桥梁；勾股定理和平行定理(5)(宝塔定理):平行线族截直线族所得分线段对应成比例，就是建在Δ*S=0的基础上的两个支柱性定理，宝塔定理还推了相似理论。
几何分析的基础定理–毕达·哥拉斯(商高)定理有500多種证法，都可以构成一个勾股定理证法群(P，C)；圆周率π有100多種算法，都可以构成一个π算群(r，π)，自然常数e是圆贯率。
毕达·哥拉斯定理和商高证定理证法都已经失传，现行的毕达·哥拉斯版本的勾股定理证法是阿基米德猜测出来的如下图1所示的勾股定理的牛头证法；现行商高版本的勾股定理证法是赵爽根据《周臂算经》部分原文推测出的如下图2所示的勾股定理的孔雀证法，该文为:
“故折之也：矩为勾廣(三)、股修(四)、径隅(五)。既方之外，半其一矩，环而共盤：乘勾(三)矩、乘股(四)矩，两矩共长，得：乘弦(五) 矩(二十有五)，是谓积矩，即：勾矩+股矩=弦矩”，勾三股四弦五是勾股定理的小雅数代公式。
欧几里德提出的如下图3所示的勾股定理的雅典娜(Athena)证法。赵爽提出的如下图4所示的勾股定理的旋图证法。把赵爽外旋图分成东西两个梯形半块来证明勾股定理就是美国20任总统伽菲尔德的证法(见图5)。1.欧几里德猜测出来的如下图1所示的毕达·哥拉斯的勾股定理的牛头证法：先画出联络辅助线，同底等高的长方形面积是三角形面积的2倍，如下相同色块的面积是相等的了。
该证法可以用分形擴展成勾股神树。
2.欧几里德提出的如下图3所示的勾股定理的雅典娜(Athena)证法。
3.赵爽推测出的如下图2所示的勾股定理的孔雀证法：
4.赵爽提出的如下图4所示的勾股定理的旋图证法。
(1)如图4所示勾股定理的外旋图证法： ，
(2)如图4所示勾股定理的内旋图证法： ，
赵爽旋图是河图洛书的翻版,将代表所有数的易经洛数分别填入赵爽旋图的三角形内，中间方格填入河图(迷宫)洛书(幻方)，河图洛书称为宇宙魔方(数字王国)河图洛书演变出五行八卦，天干地支，游标卡尺，奇门遁甲，河图洛书上的珍珠是代表事物的缀；河图洛书使用的数字是有代表性的洛数。
5.如图5所示的勾股定理的总统证法(十)，该证法其实是赵爽外旋图分成象征东西文明的两个梯形半块(步步高~节节升)来证明。
梯形 ，
6.我国院士的勾股定理的王妃证法如下图7.1、图7.2图、7.3所示：
(1)如上图7.2所示的勾股定理的王妃证法2：
四点共圆是共圆模式标准，圆心角的内外圆周角之和等于180°；四边形EBCD的顶点以O为圆心、半径为 共圆，四边形EBCD的对角和爲180°。
BO =CO =DO =EO ；∠BEC =β，∠BCE =α，∠DCE =∠DEC =45°，则∠AED=180°-45°-β =180°-45°-(90°-α)=45°+α=∠DCB 。则
↣ ,图7.2的D点称为明月靓点，45°代表强韧钢；该勾股定理证法宛若:海上生明月，天涯若比邻，久走四外思故鄉，明月何时照我还?
如上图7.1，7.3所示的勾股定理的王妃证法1、3： ，
7.伟大的爱因斯坦勾股定理的相对论证法和本人提出的最简洁的勾股定理的幻影证法如下图6所示
(1)如图6所示勾股定理幻影证法:(1) ~ΔBDA~ΔCAD,
则: , , ↣ ，则勾股定理： 。
(2)射影定理： 左式 ~中式 ~右式
(3) 称为勾股数, 称为反勾股数。: ，我们将该式取倒数即得 ↣ [1] ,该式称为反勾股定理。
任意一组勾股数 可以表示为如下形式： , 其中 均为正整数，且 ， 是勾股方程的函数解。正弦定理称为廊桥定理，余弦定理称为勾臂定理(参见图1)。图1嵌入漫(≠)式。
(2)如图6所示爱因斯坦勾股定理证法：设质量 则:
因为 ，所以 ；
8.勾股定理的金字塔证法(见图9)如下：该证明如图8所示：将两个全等的直角三角形 和 如图8所示摆放，则：
∵根据HL定理得： 所以 [1]
[2],其中tgD称为金纽，将[2]代入(1)式得： [3]，将 代入[3]得： 将上式两边乘 得： 移项得:c²=a²+b²。
图9.勾股定理的金字塔证法
9.莱布尼兹發现了著名的微元三角析形；勾股定理的莱布尼兹证法(∫*dx)：
图10.勾股定理微分分析
根据莱布尼兹微元三角析形，如图10所示:通过变换得 ，则:我们可以得到 ，带入初始条件 得： ,带入初始条件 ， 得： ；勾股定理的莱布尼兹证法真如歌曲《似是故人来》。
10：达芬奇的勾股定理证法(见百度)，该证法可以称为巧克力“糖”(chocolate)证法[见图11]:
图11.达芬奇的勾股定理证法
如图11所示的达芬奇的勾股定理的证明就象将一颗美丽的可可豆做成一块美味的巧克力“糖”（chocolate）。巧克力“糖”(见图12)最初来源于中美洲热带雨林中野生可可树的果实-可可豆；1300多年前，约克坦玛雅印第安人用焙炒过的可可豆做了一種饮料叫chocolate。
图12.巧克力制品
西方的巧克力“糖”和我国漢朝劉(刘)安發明的豆腐有点对应；茄科仙子，豆科仙子，蚕花娘子，茶花娘子，绵花娘子，荷花仙子都是被贬下凡尘的“仙子”。
11勾股定理的欧拉氣度证法
cos²(α)+sin²(α)=(a²+b²)/c²=?(见图15)[1]；图15https://www.zhihu.com/question/572977895/answer/2814538425?utm_psn=1889110692604408038
