我感觉题主对于这些概念的定义都清楚了，但是缺乏直观的认识，所以这里我用直观的语言来叙述一下。
站在开集中的任何一个位置，往任何方向走任意充分小的距离，你仍然在开集内。
如果你站立的位置在集合中且满足：往任何方向走任意充分小的距离仍然在集合内，那么你就在这个集合的内部，你所处的位置就是集合的内点。显然，集合为开集等价于集合中每个点都是内点，集合的内部由集合所有的内点组成。
全集挖去开集的剩余部分就是闭集。也就是说，你站在闭集外的任意一个点上，往任意方向走任意充分小的距离仍然在闭集外。如果你站立的位置在集合外且满足：往任何方向走任意充分小的距离仍然在集合外，那么你就在集合的外部，你所处的位置就是集合的外点。显然，集合的外部由集合所有的外点组成。且集合的补集的内点就是集合的外点。
那么在全集中，除去集合内部，集合外部，剩下的点组成的集合就是集合的边界。容易发现，站在集合的边界上一个确定的点处朝着一个方向走任意取定的距离。随着方向的改变，你既有可能走到集合内一点处又有可能走到集合外一点处。这与“边界”这个词本身的含义是吻合的。
那么开集能包含边界中点吗？不能！如果包含了边界中点，那么我们从那个点出发朝某个方向走充分小的距离就能走到集合外一点处，与开集定义矛盾。
那么闭集要包含边界中所有点吗？是的！如果存在边界上的点在闭集之外，从那个点出发朝某个方向走充分小的距离就能走到集合内一点，与闭集定义矛盾！
那么反过来，如果集合包含自身的所有边界点一定是闭的吗？是的！因为全集中的所有点一共只有三种类型：这个集合的内点、外点、边界点。考虑这个集合外一点，其不可能为边界点，也不可能为内点，故必定为外点，满足闭集定义。
要我做一个简单归纳的话就是：
为选定集合， 为全集。
则 （注意右侧三部分两两不交）
若 开，则 。
若 闭，则 ，且 。
不知题主是否更加清晰了呢？
